Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中,边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C. D都在第一象限。

(1)当点A坐标为(4,0)时，求点D的坐标；

(2)求证：OP平分∠AOB；

(3)直接写出OP长的取值范围(不要证明).

Answer 1

【答案】（1）D(7,4);（2）见解析；（3） <OP5.

【解析】

（1）作DM⊥x轴于点M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通过证明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB，DM=OA，从而求出点D的坐标．

（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明OP是角平分线．

（3）因为OP在∠AOB的平分线上，就有∠POA=45°，就有OP= PE，在Rt△APE中运用三角函数就可以表示出PE的范围，从而可以求出OP的取值范围.

(1)作DM⊥x轴于点M，

∴∠AMD=90°.

∵∠AOB=90°，

∴∠AMD=∠AOB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°，

∴∠OAB+∠DAM=90.

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠DAM=∠OBA.

在△DMA和△AOB中，

，

∴△DMA≌△AOB，

∴AM=OB，DM=AO.

∵A(4,0)，

∴OA=4，

∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：

OB= =3.

∴AM=3，MD=4，

∴OM=7.

∴D(7,4);

(2)证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点

∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°，

∴∠FPB=∠EPA，

∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，

∴△PBF≌△PAE，

∴PE=PF，

∴点P都在∠AOB的平分线上.

(3)作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE=h，设∠APE=α.

在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=.

∴PE=PAcosα=cosα.

∵顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，

∴0°α<45°，

∴ <cosα1.

∴ <PE，

∵OP= PE，

∴ <OP5.