Question

【题目】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）关系是：AD+AB=AC

证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°

∴∠CAD=∠CAB=60°

又∠ADC=∠ABC=90°，

∴∠ACD=∠ACB=30°

则AD=AB= AC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）

∴AD+AB=AC

（2）解：仍成立．

证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F

∵AC平分∠MAN

∴CE=CF（角平分线上点到角两边距离相等）

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC

又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）

∵ED=FB，∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF

由（1）知AE+AF=AC

∴AD+AB=AC

【解析】（1）得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以证得AD=AB= AC从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF，从而证得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，以及对含30度角的直角三角形的理解，了解在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．