Question

【题目】如图在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为________

Answer 1

【答案】

【解析】

先证明四边形EFGH为矩形，再利用矩形的面积计算出EG的长，从而进一步计算平行四边形ABCD的面积．

延长AF交BC于点M，过点A作AN⊥BC于点N，连接EG

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

又∵∠ABC=60°

∴∠BAD=180°-60°=120°

又∵BH、AF分别平分∠ABC、∠BAD

∴∠ABH=，∠BAE=

∴∠HEF=∠AEB=

同理，∠H=∠HGF=90°

在四边形EFGH中，∠H=∠HEF=∠HGF=90°

∴四边形EFGH为矩形

在△ABM中，∠ABM=∠BAM=60°

∴△ABM为等边三角形

又∵BE平分∠ABM，AB=4

∴

同理可得，

∴

∵四边形EFGH为矩形

∴EM∥CG

∵且EM∥CG

∴四边形EMCG为平行四边形

∴EG∥CM

∴∠HEG=∠HBC=30°

∴

不妨设HG=a，EG=2a，

则由勾股定理可得

∵四边形EFGH面积为

∴

∴

∴CM=EG=2a=2

在Rt△ABN中，∠ABN=60°, ∠ANB=90°,AB=4

∴，

∴

故答案为：．