Question

【题目】如图，△是等边三角形， ＝2.点从点出发沿沿射线以1 的速度运动，过点作∥交射线于点，同时点从点出发沿的延长线以1 的速度运动，连结、.设点的运动时间我（）.

（1）求证：△是等边三角形；

（2）直接写出的长（用含的代数式表示）；

（3）当点在边上，且不与点、重合时，求证：△≌△.

（4）在不添加字母和连结其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）或；

（3）证明见解析；

（4）当t=1时，图中有5个等腰三角形，当t=4时，图中有4个等腰三角形．

【解析】【试题分析】

（1）△ABC是等边三角形，根据等边三角形的定义得：∠A=∠ABC=60°．

由于，根据两直线平行，同位角相等得：∠APE=∠ABC=60°．

因为∠A=∠APE=60°．根据等边三角形的判定得：△APE是等边三角形．

（2）由题意得：AE=AP=t,当t<2时，CE= ；当t>2时，CE= ． 或．

（3）根据△ABC是等边三角形，得到，AB=AC，∠ACB=60°．因为△APE是等边三角形，

得AP=PE=AE，∠APE=60°．则AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°．根据等量相减仍是等量得：BP=EC．由于AP=CQ=t，所以PE=CQ．根据SAS得，△BPE≌ECQ．

（4）当t=1时，图中有5个等腰三角形．

当t=4时，如图，图中有4个等腰三角形．

【试题解析】

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=60°．

∵，

∴∠APE=∠ABC=60°．

∴∠A=∠APE=60°．

∴△APE是等边三角形．

（2）当t<2时，CE= ；当t>2时，CE= ．

（3）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°．

∵△APE是等边三角形，

∴AP=PE=AE，∠APE=60°．

∴AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°．

∴BP=EC．

∵AP=CQ=t，

∴PE=CQ．

∴△BPE≌ECQ．

（4）当t=1时，图中有5个等腰三角形．

当t=4时，如图，图中有4个等腰三角形．