Question

【题目】阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有当a＝b时，等号成立．

结论：在≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值．

根据上述内容，填空：若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值，最小值为 ．

探索应用：如图，已知，，为双曲线（x＞0）上的任意一点，过点作⊥x轴于点，⊥y轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．

Answer 1

【答案】2，2，四边形面积的最小值为12，四边形ABCD是菱形.

【解析】

应用上述结论，直接代入即可求出的最小值；首先设P的坐标为：（x，），由S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD，可得S四边形ABCD=（x++4），继而求得答案．

解：∵a+b≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值．
∴≥，
∴≥2，
当m=时，
解得：m=2或-2（不合题意舍去），
故当m=2，最小值是2；

设P的坐标为：（x，），
∵A（-2，0），B（0，-3），
则BD=3+，OA=2，OC=x，
则S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=2（3+）+x（3+）==（x++4）≥×（2+4）=12，
∴当且仅当x=，即x=2时，四边形ABCD面积有最小值，最小值是12；
∴点P的坐标为：（2，3），
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．