Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F．

（1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形；

（2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的 角平分线上，试判断此时四边形AEDF的形状，并说明理由；

（3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明AE+AF=AD．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形；

（2）四边形AEDF是正方形，

理由：∵点D在∠BAC的 角平分线上，DE⊥AB，BF⊥AC，

∴DE=DF，

∴矩形AEDF是正方形；

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，

∵点D在∠BAC的 角平分线上，

∴DM=DN，

∴四边形AMDN是正方形，

∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，

∴∠MDF+∠NDF=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠MDF+∠EDM=90°，

∴∠NDF=∠EDM，

在△EMD与△END中，，

∴△EMD≌△END，

∴EM=FN，

∵∠AMD=90°，

∴AM2+DM2=AD2，

∴AD=AM，

∵AM=（AM+AN）=（AE+AF），

∴AD=×（AE+AF），

∴AE+AF=AD．