Question

【题目】在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ．
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30；BE+DF=EF
（2）解：如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，

∵∠DAF+∠DAE=30°，

∴∠BAG+∠DAE=30°，

∵∠BAD=60°，

∴∠GAE=60°﹣30°=30°，

∴∠GAE=∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE=FE，

又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，

∴BE﹣DF=EF，

即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF=EF

（二）拓展延伸

如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

解：如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，则

AE=AE′，∠EAE′=60°，

∴△AEE′是等边三角形，

又∵∠EAF=30°，

∴AN平分∠EAF，

∴AN⊥EE′，

∴直角三角形ANE中， = ，

∵在等边△ABC中，AM⊥BC，

∴∠BAM=30°，

∴ = ，且∠BAE+∠EAM=30°，

∴ = ，

又∵∠MAN+∠EAM=30°，

∴∠BAE=∠MAN，

∴△BAE∽△MAN，

∴ = ，即 = ，

∴MN=

【解析】解：（一）（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
∴∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，
所以答案是：30，BE+DF=EF；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．