Question

【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜ ），∠AED=∠BCD，求 的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

：如图2，

作AF⊥BC，

∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，

在△ABF和△BAE中，

，

∴△ABF≌△BAE（AAS），

∴BF=AE

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF= BC，

∴BC=2AE，

故答案为AAS

（2）

解：如图3，

连接AD，作CG⊥AF，

在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，

∴AD=CD，

∵点E是DC中点，

∴DE= CD= AD，

∴tan∠DAE= = ，

∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，

∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，

∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，

∵∠CDF=∠EAC，

∴∠F+∠EAC=45°，

∵∠DAE+∠EAC=45°，

∴∠F=∠DAE，

∴tan∠F=tan∠DAE= ，

∴ ，

∴CG= ×2=1，

∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，

∴∠DCG=45°，

∵∠CDF=∠EAC，

∴△DCG∽△ACE，

∴ ，

∵CD= AC，CE= CD= AC，

∴ ，

∴AC=4；

∴AB=4；

（3）

解：如图4，

过点D作DG⊥BC，设DG=a，

在Rt△BGD中，∠B=30°，

∴BD=2a，BG= a，

∵AD=kDB，

∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），

过点A作AH⊥BC，

在Rt△ABH中，∠B=30°．

∴BH= a（k+1），

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BC=2BH=2 a（k+1），

∴CG=BC﹣BG= a（2k+1），

过D作DN⊥AC交CA延长线与N，

∵∠BAC=120°，

∴∠DAN=60°，

∴∠ADN=30°，

∴AN=ka，DN= ka，

∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，

∴△NDE∽△GDC．

∴ ，

∴ ，

∴NE=3ak（2k+1），

∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），

∴ ．

【解析】（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE= ，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH= a（k+1），BC=2BH=2 a（k+1），CG= a（2k+1），DN= ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．