Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线,MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你写出这个数量关系，并证明

Answer 1

【答案】(1)DE =AD＋BE(2)DE=AD-BE,(3)DE=BE-AD.

【解析】

(1)根据AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,证明∠BCE=∠DAC,进而证明△ADC≌△CEB（AAS）即可解题,

(2) 根据AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,证明∠BCE=∠DAC, 由此仍然可以证明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性质也可以解决问题,
(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,仍然可以证明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD.

解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,

∵AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE＝CD+CE=AD＋BE
(2) 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE, AD=CE
∴DE=CE-CD=AD-BE,
(3)如图3, 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE=CD-CE=BE-AD
∴DE、AD、BE之间的关系为DE= BE-AD.