Question

【题目】如图，已知 内接于 ， 是直径，点 在 上， ，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 边于点 ．

（1）求证： ∽ ；
（2）求证： ；
（3）连接 ，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB，

∵OD//BC，

∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE~△ABC，

（2）

证明：∵△DOE~△ABC，

∴∠ODE=∠A，

∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，

∴∠A=∠BDC，

∴∠ODE=∠BDC，

∴∠ODF=∠BDE。

（3）

解：因为△DOE~△ABC ,

所以，

即=4=4

因为OA=OB，

所以=，即=2,

因为=,S2=++=2S1+S1+,

所以=，

所以BE=OE,即OE=OB=OD，

所以sinA=sin∠ODE==

【解析】（1）易证∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC，根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定△DOE~△ABC；
（2）由△DOE~△ABC，可得∠ODE=∠A，由∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，则∠A=∠BDC，从而通过角的等量代换即可证得；
（3）由∠ODE=∠A，可得sinA=sin∠ODE==；而由△DOE~△ABC ,可得 ， 即=4=4= ， 即=2,又因为=,S2=++=2S1+S1+,则可得= ， 可求得OE与OB的比值.
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)的相关知识才是答题的关键．