Question

【题目】如图（1），为直线上点，过点作射线，，将一直角三角尺()的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

（1）若将图（1）中的三角尺绕点以每秒的速度，沿顺时针方向旋转秒，当恰好平分时，如图（2）．

①求值；

②试说明此时平分；

（2）将图（1）中的三角尺绕点顺时针旋转，设，， 当在内部时，试求与的数量关系；

（3）若将图（1）中的三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图（3），那么经过多长时间，射线第一次平分？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①t=3s；②证明见解析；（2）β=α+60°；（3）经过5秒OC平分∠MON．

【解析】

（1）①根据角平分线的定义计算即可；
②求出∠AON，∠CON的值即可判断；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）设∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，根据∠AOC-∠AON=∠CON，构建方程即可解决问题．

解：（1）①如图2中，∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠BOM=∠BOC=75°，

∠AON=180°-90°-75°=15°，

∴t==3s，

②当t=3时，∠AON=3t=15°，∠CON=30°-3t=15°，

∴∠AON=∠CON，

∴ON平分∠AOC；

（2）∵∠CON=30°-α=90°-β，

∴β=α+60°；

（3）∵OC平分∠MON，∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板绕点O以每秒5°的速度，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，

∴设∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，

∵∠AOC-∠AON=∠CON，

∴30°+8t-5t=45°，

解得t=5，

∴经过5秒OC平分∠MON．