Question

【题目】已知∠ABC=90°，D是直线AB边上的点，AD=BC

（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF=BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF的形状并说明理由；

（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDF是等腰直角三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析．

【解析】

（1）根据题意先证明出△FAD和△DBC全等，然后得出DF=DC，进一步利用全等三角形性质以及等量代换求出∠FDC=90°，从而证明出△CDF是等腰直角三角形；

（2）根据题意先证明出△FAD和△DBC全等，然后得出DF=DC，进一步利用全等三角形性质以及等量代换求出∠FDC=90°，从而证明出△CDF是等腰直角三角形；

（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AB，

∴∠A=90°

在△FAD和△DBC中

∵．．

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴∠1=∠3，DF=DC，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠FDC=180°90°=90°，

又∵DF=DC，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）仍然成立，理由如下：

∵AF⊥AB，

∴∠A=90°．

在△FAD和△DBC中

∵．

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴∠1=∠3，DF=DC，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，即∠FDC=90°，

又∵DF=DC，

∴△CDF是等腰直角三角形．