Question

【题目】如图，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿C－B－A向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．若当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，第二象限内存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形, 则点N的坐标为_________

Answer 1

【答案】

【解析】试题解析：∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴x=0，y=4，y=0，x=-4，

∴A点坐标为：（-4，0），AO=4，BO=4，

∴AB=8，

∴∠BAC=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴CO=4，BC=8，

当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．

∵，

∴，

∴QH=

∴S△APQ=APQH=t =t2﹙0＜t≤4﹚，

同理可得S△APQ=t﹙8-t﹚=-t2+4t﹙4≤t＜8﹚，

当t=4时S=-t2+4t此时取到最大值，

∴当△APQ的面积最大时，此时Q与B重合，

当以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，

AN1=8时，且AN1∥y轴，则N1（-4，-8），

AN2=8时，且AN2∥y轴，则N2（-4，8），

当3点与C点重合坐标为：N3（4，0），

当AB是对角线，AE=AN=BE，设BE=x，则AE=AN=x，

∴在Rt△AEO中

AE2=EO2+AO2，

∴x2=（4-x）2+42，

解得：x=，

∴N（-4， ），

综上所述，点N的坐标为：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4， ）．