Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．

（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；

（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2∠ACP=∠B；（2）当点O在△ABC外时，＜CP≤8．

【解析】分析：（1）根据BC与AC垂直得到BC与圆相切，再由AB与相切于点P，利用切线长定理得到，利用等边对等角得到一对角相等，再由等量代换即可得证；
（2）在中，利用勾股定理求出AB的长，根据AC与BC垂直，得到BC与相切，连接连接OP、AO，再由AB与相切，得到OP垂直于AB，设OC=x，则OP=x，OB=BCOC=6x，求出PA的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BO的长，根据AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根据面积法求出CP的长，由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，即可确定出CP的范围．

详解：(1)当点O在AC上时，OC为的半径，

∵BC⊥OC，且点C在上，

∴BC与相切,

∵与AB边相切于点P，

∴BC=BP，

∴

∵

∴

即2∠ACP=∠B；

(2)在△ABC中,

如图，当点O在CB上时，OC为的半径，

∵AC⊥OC,且点C在上,

∴AC与相切，

连接OP、AO，

∵与AB边相切于点P，

∴OP⊥AB，

设OC=x，则OP=x，OB=BCOC=6x，

∵AC=AP，

∴BP=ABAP=108=2，

在△OPA中,

根据勾股定理得：,即

解得：

在△ACO中,

∴

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根据面积法得： 则符合条件的CP长大于

由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，

综上,当点O在△ABC外时,