Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．

Answer 1

【答案】①②⑤
【解析】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB=x，则CP=4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴ = ，∴CM= x（4﹣x），∴S四边形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∵AM= = ，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣1）2+3，
∴x=1时，AG最小值=3，
∴AM的最小值= =5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK= z，∴z+ z=4，∴z=4 ﹣4，∴PB=4 ﹣4故⑤正确．
故答案为①②⑤．

①正确，只要证明∠APM=90°即可解决问题．
②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
③错误，设ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM= = ，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．