Question

【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
（1）若P（1，﹣3）、B（4，0），
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得 ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ ；

②如图1，

当点D在OP左侧时，

由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，

∴D与P关于y轴对称，且P（1，﹣3），

∴D（﹣1，﹣3）；

当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．

作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3．

∵∠DPO=∠POB，

∴PG=OG．

设OG=x，则PG=x，HG=x﹣1．

在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．

∴点G（5，0）．

∴直线PG的解析式为y= x﹣ ，

解方程组 得 或 ，．

∵P（1，﹣3），

∴D（ ，﹣ ）．

∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（ ，﹣ ）．

（2）

解：点P运动时，OE+OF是定值，定值为2，理由如下：

如图2，作PQ⊥AB于Q点，

设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c=0，c=﹣at2．

∵PQ∥OF，

∴ = ，

∴OF= =﹣ = ═amt+at2．

同理OE=﹣amt+at2，

∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC= ．

【解析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；（2）作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），可表示出OE、OF的长，可得答案．