Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，，的平分线交边BC于点E，于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：

，，其中正确命题的序号　　

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形DAE，求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；

（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；

（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；

（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）不正确．

（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°．

∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°．

∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD．

∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）结论正确；

（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）结论不正确；

（3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°．

∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正确；

（4）∵AH=DH，CD=CE．在△AFH与△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH．在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（4）不正确．

故选D．