Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO= ，求cosB的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图作OM⊥AB于M，

∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，

∴OC=OM，

∴AB是⊙O的切线，

（2）

解：设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1 ①，

∵cosB= ，

∴ ，

∴x2+3x=y2+y ②，

由①②可以得到：y=3x﹣1，

∴（3x﹣1）2﹣x2=1，

∴x= ，y= ，

∴cosB= = ．

【解析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对锐角三角函数的定义的理解，了解锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．