Question

【题目】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）

解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC= ．

在Rt△OCD中，

∵ ，

∴CD=2 ．

∴ ．

∴图中阴影部分的面积为： ．

【解析】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．