Question

【题目】如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．

（1）求证：AEBC=ADAB；
（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB为半圆O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE是切线，

∴OA⊥AE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴AE：AB=AD：BC，

∴AEBC=ADAB．

（2）

解：

作DM⊥AB于M，

∵半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，

∴BC=ABsin∠BAC=6，

∴AC= =8，

∵OE⊥AC，

∴AD= AC=4，OD= BC=3，

∵sin∠MAD= = ，

∴DM= ，AM= = = ，BM=AB﹣AM= ，

∵DM∥AE，

∴ ，

∴AF= ．

【解析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得 求出DM、BM即可解决问题．本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．