Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．

（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GFE=∠FEC，

∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，

∴∠GEF=∠FEC，

∴∠GFE=∠FEG，

∴GF=GE，

∵图形翻折后BC与GE完全重合，

∴BE=EC，

∴GF=EC，

∴四边形CEGF为平行四边形，

∴四边形CEGF为菱形

（2）

解：如图1

，

当F与D重合时，CE取最小值，

由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠DEC=45°=∠CDE，

∴CE=CD=DG，

∵DG∥CE，

∴四边形CEGD是矩形，

∴CE=CD=AB=3；

如图2

，

当G与A重合时，CE取最大值，

由折叠的性质得AE=CE，

∵∠B=90°，

∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，

∴CE=5，

∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图2，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．