Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．

图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1）若点B（1，0），C（1，1），D(0，)，则SB= ；SC= ；SD= ；

（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；

（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）0，-1，，（2）﹣3≤b≤3；（3）4．

【解析】

试题分析：（1）根据点的坐标和新定义解答即可；

（2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答；

（3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．

试题解析：（1）∵点B（1，0），

∴SB=0，

∵C（1，1），

∴SC=﹣1，

∵D(0，)，

∴SD=，

（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，

作OG⊥EF于G，

∵∠FEO=45°，

∴OG=GE，

当OG=3时，GE=3，

由勾股定理得，OE=3，

此时直线的解析式为：y=x+3，

∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3≤b≤3；

（3）∵T在⊙O内，

∴ST≤1，

∵ST≥SR，

∴SR≤1，

∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．