Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D，F分别在AB，AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；
（3）在（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD= 时，求线段CM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF．

（2）证明：设BG交AC于点M，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM=∠GCM，

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，

∴BD⊥CF．

（3）解：过点F作FN⊥AC于点N，

∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，

∴AE= =2，

∴AN=FN= AE=1．

∵在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ，

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ，

∴AM= AB= ，

∴CM=AC﹣AM=4﹣ =

【解析】（1）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，根据角边角关系证出△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF。
（2）先设BG交AC于点M，根据（1）证出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根据对顶角相等，得出△BMA∽△CMG，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可证出BD⊥CF。
（3）首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM的值，从而求出CM的值。

【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和正方形的性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．