Question

【题目】(1)方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：

第一步添加辅助线：如图1，在中，延长（分别是的中点）到点，使得，连接；

第二步证明，再证四边形是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论：____________________________________（请用DE与BC表示）

（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．

（3）拓展研究：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．

Answer 1

【答案】DE∥BC，DE=BC．

【解析】分析：（1）直接得出结论即可；

（2）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；

（3）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长．在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．

详解：（1）DE∥BC，DE=BC；

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，

∵E为AD中点，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∵∠A=∠EDH，EA=ED，∠AEG=∠HED，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH．

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3．

∵∠ADC=120°，

∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，

∴△PDH为等腰直角三角形，

∴PD=PH=1．

∵DF＝2，

∴PF=PD+DF=1+2=3，

∴GF=HF=．