Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合)，过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处．连结BA'，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．

(1) 求出y与x的函数关系式；

(2) 若以点A'、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；

(3) 当x取何值时，△A' DB是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）y＝ (0＜x＜5)．（2）x＝．（3）当x＝、x＝时，△A'DB是直角三角形．

【解析】试题分析：（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；

（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；

（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△DBA'中，根据DB2+A'B2=A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；

试题解析：（1）如图1，过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=BC=3，

∵DE∥BC，

∴AN⊥DE，即y=AN．

在Rt△ABM中，AM==4，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴y=（0＜x＜5）．

（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，

∴AD=A'D，AE=A'E，

∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，

∴AD=AE，

∴A'D=A'E，

∴四边形ADA'E是菱形，

∴AC∥DA'，

∴∠BDA'=∠BAC，

又∵∠BAC≠∠ABC，

∴∠BDA'≠∠ABC，

∵∠BAC≠∠C，

∴∠BDA'≠∠C，

∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，

∴当BD=A'D，即5-x=x时，x=.

（3）第一种情况：∠BDA'=90°，

∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，

∴∠BDA'≠90°．

第二种情况：∠BA'D=90°，

∵在Rt△BA'D中，DB2-A'D2=A'B2，

在Rt△BA'M中，A'M2+BM2=A'B2，

∴DB2-A'D2=A'M2+BM2，

∴（5-x）2-x2=（4-x）2+（3）2，

解得x=；

第三种情况：∠A'BD=90°，

∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，

∴△BA'M∽△ABM，

即，

∴BA'=，

在Rt△DBA'中，DB2+A'B2=A'D2，

（5-x）2+=x2，

解得：x=．

综上可知当x=或时，△A'DB是直角三角形．