Question

【题目】如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是AF，CE的中点，连结EG，FH．
（1）四边形EHFG是不是平行四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（2）求四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形EHFG为平行四边形，理由为：

∵ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴DF=CF= DC，AE=BE= AB，

∴FC=AE，

∵FC∥AE，

∴四边形AECF为平行四边形，

∴AF∥EC，且AF=EC，

∵G、H分别为AF、CE的中点，

∴GF=EH，

则四边形EHFG为平行四边形

（2）解：∵E、F为AB、CD的中点，

∴S四边形AECF=S△ADF+S△EBC（底乘高可算得），即S平行四边形AECF：S平行四边形ABCD=1：2，

过F做FJ⊥CE于J点，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，

又∵G、H为中点，

∴S四边形EHFG：S四边形AECF=1：2（FJEC=FJ2EH），则S四边形EHFG：S四边形ABCD=1：4．

【解析】（1）四边形EHFG为平行四边形，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到DC与AB平行且相等，而E、F分别为AB、CD的中点，得到FC与AE平行且相等，即四边形AECF为平行四边形，可得出GF与HE平行，再由G、H分别为AF与CE中点，得到GF=HE，即可得到四边形GEHF为平行四边形；（2）由E、F分别为AB、CD的中点，得到四边形AECF的面积=三角形ADF面积+三角形EBC面积= 平行四边形ABCD面积，作FJ垂直与CE，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，求出四边形EHFG面积与四边形AECF面积之比，即可确定出四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．