Question

【题目】如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴BE=DE，

∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，

∴BE=OBcos30°=3 ，

∴BD=2BE=6

（3）解：易证△OEB≌△CED，

∴S阴影=S扇形BOC

∴S阴影= =6π．

答：阴影部分的面积是6π

【解析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线；（2）利用（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度；（3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的推论的相关知识，掌握推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．