Question

【题目】已知如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC=CP．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4 ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC；

∵OA=OC，AC=CP，

∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，

∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，

∴∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴CP是⊙O的切线

（2）解：∵AB=4 ，

∴OC=OB=2 ，

∴PC= =6

∴S△OCP= OCPC

= ×2 6=6 ，

S扇形OBC= =2π，

∴图中阴影部分的面积=6 ﹣2π

【解析】（1）如图，连接OC；运用已知条件证明∠OCP=90°，即可解决问题．（2）分别求出△OCP、扇形OCB的面积，即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．