Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEF≌△DEB；

(2)求证：四边形ADCF是菱形；

(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.

【解析】试题分析：(1)利用AAS证明全等.(2)利用（1）中结论，先证明ADCF是平行四边形，再利用直角三角形中线性质求相邻边相等.(3)利用菱形面积公式求面积.

试题解析：

解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DBE.

(2)证明：由(1)知△AEF≌△DEB，则AF＝DB.∵DB＝DC，∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形．

(3)连接DF，由(2)知AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∴S菱形ADCF＝AC·DF＝×4×5＝10.