Question

【题目】如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1：连接OB．

∵CD为圆O的直径，

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．

∵AE是圆O的切线，

∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．

∴∠ABD=∠CBO．

∵OB=OC，

∴∠C=∠CBO．

∴∠C=∠ABD．

∵OE∥BD，

∴∠E=∠ABD．

∴∠E=∠C

（2）解：∵⊙O的半径为3，AD=2，

∴AO=5，∴AB=4．

∵BD∥OE，

∴BE=OD，

∴BE=3，

∴BE=6，AE=6+4=10

（3）解：∵S△AOE= AEOB=15，

∵∠C=∠E，∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴ =（ ）2= ，

∴S△ABC=15× =

【解析】（1）连接OB．先证明∠ABO、∠CBD均为直角，然后依据同角的余角相等证明∠ABD=∠CBO，接下来，结合等腰三角形的性质和平行线的性质进行证明即可；（2）连接OB，先求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得BE的长，最后再△BOE中依据勾股定理可求得OE的长；（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．