Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如果∠A=60°，则DE与DF有何数量关系？请说明理由；
（3）如果AB=5，BC=6，求tan∠BAC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵AB=AC，∴∠2=∠C，

∵OD=OB，∴∠2=∠1，

∴∠1=∠C，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵点D在⊙O上，

∴EF是⊙O的切线；

（2）

解：DE与DF的数量关系是DF=2DE．连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，∴∠3=∠4= ∠BAC= ×60°=30°，

∵∠F=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°，

∴∠3=∠F，∴AD=DF，

∵∠4=30°，EF⊥AC，

∴DE= AD，∴DF=2DE；

（3）

解：设⊙O与AC的交点为P，连接BP，

∵AB为直径，∴BP⊥AC，由上知BD= BC= ×6=3，

∴AD= =4，

S△ABC= BCAD= ACBP，

∴ ×6×4= ×5×BP，

∴BP= ，

∴直角△ABP中，AP= = ，

∴tan∠BAC= = ．

【解析】（1）连接OD，根据题意可得出∠1=∠C，则OD∥AC，由EF⊥AC可得出结论；（2）连接AD，由圆周角定理可得出AD⊥BC，根据已知条件可得出∠3=30°，从而得出∠3=∠F，则AD=DF，由直角三角形的性质即可得出DF=2DE；（3）设⊙O与AC的交点为P，连接BP，可求出BD，再根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式得出BP，再由勾股定理得出AP，则得出tan∠BAC的值．
【考点精析】掌握圆的定义和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点称为圆心，定长称为半径；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．