Question

【题目】（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A=56°，求∠BOC的度数；

（2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠A和∠P的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC=118°；（2）∠A=2∠P，理由见解析

【解析】

（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到2∠PCD=∠A．

解：（1）∵∠A=56°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=124°，

∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠CBO=∠ABO，∠ACO=∠BCO，

∴∠CBO+∠BCO=（∠ABC+∠ACB）=×124°=62°，

∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=118°；

（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD，

∴∠ACD-∠ABC=2（∠PCD-∠PBC），

∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC，

∴∠A=2∠P．