Question

【题目】如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为M、N．

（1）求证：△AMC≌△CNB；

（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由垂直定义得∠AMC =∠BNC=90°，再根据同角的余角相等得∠MAC=∠NCB，再由AAS证明△AMC≌△CNB.

(2)由△AMC≌△CNB得出CM=BN=5，再利用勾股定理就能计算BC，从而算出AB.

解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，

∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，

∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180﹣90°=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）由（1）知 △AMC≌△CNB，

∴CM=BN=5，

∴Rt△ACM中，AC=，

∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，

∴AB===2．