Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90。 ， AC<BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过点A作AG／／BC交FD的延长线于点G．

（1）求证：AG=BF；
（2）若AE=4，BF=8，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D是AB的中点，

∴AD=BD．

∵AG∥BC，

∴∠GAD=∠FBD．

∵∠ADG=∠BDF，

∴△ADG≌△BDF．

∴AG=BF．

（2）解：连接EG，

∵△ADG≌△BDF，

∴GD=FD．

∵DE⊥DF，

∴EG=EF．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，

∴∠EAG=90°．

在Rt△EAG中，

∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∴EF2=AE2+BF2且AE=4，BF=8．

∴EF=4 ．

【解析】（1）根据中点的定义得出AD=BD ，根据平行线的性质得出∠GAD=∠FBD，根据对顶角相等得出∠ADG=∠BDF ，从而用ASA判断出△ADG≌△BDF，根据全等三角形对应边相等得出AG=BF ；
（2）连接EG，由三角形全等得出GD=FD ，根据中垂线的性质得出EG=EF ，根据二直线平行同旁内角互补得出∠EAG=90°．在Rt△EAG中，根据勾股定理及等量代换得出EF2=AE2+BF2 ，从而代指计算得出EF的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解线段的中点的相关知识，掌握线段的中点到两端点的距离相等，以及对平行线的性质的理解，了解两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．