Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长.

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：

①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时，则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

(1)∵BQ=2×2=4(cm),BP=ABAP=162×1=14(cm ),∠B=90°，

∴PQ= = (cm)；

(2)BQ=2t，BP=16t，

根据题意得：2t=16t，

解得：t= ，

即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；

(3)①当CQ=BQ时,如图1所示,

则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°.

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ,

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11秒。

②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12秒。

③当BC=BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E,

则BE= ，

∴CE=，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2秒。

综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形