Question

【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32 ，求AQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），

理由：∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠NBA=180°，

∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，

∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，

∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，

∴∠APB=90°，

∵AE平分∠MAB，

∴∠MAE=∠BAE，

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AF=AB，

∴AF=+BE=2AB（或AF=BE=AB）；

（2）

解：如图1，

过点F作FG⊥AB于G，

∵AF=BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF+BE=16，

∴AB=AF=BE=8，

∵32 =8×FG，

∴FG=4 ，

在Rt△FAG中，AF=8，

∴∠FAG=60°，

当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，

当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，

①如图2，

当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，

∴PB=4，PA=4 ，

∵BQ=5，∠BPA=90°，

∴PQ=3，

∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．

②如图3，

当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，

∴PB=4 ，

∵PB=4 ＞5，

∴线段AE上不存在符合条件的点Q，

∴当∠FAB=60°时，AQ=4 ﹣3或4 +3．

【解析】（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理计算线段．