Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；

（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）；②③ ④

【解析】试题分析：（1）根据已知可得AC的长，AP的长，从而可得PC的长，在直角三角形BCP中利用勾股定理即可求得；

（2）作PH⊥AB，由已知可得PH=PC=4t-8，PB=14-4t，在Rt△BPH中，由勾股定理即可得；

（3）分情况计谋即可得.

试题解析：（1）点P在AC上，∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10，∴AC=8，

AP=4t，CP=8-4t，

又∵PA=PB，∴，

t=；

（2）点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，

∴PC=PH=4t-8，PB=14-4t，

可证△ACP≌△AHP， ∴AH=BC=8，∴BH=2，

在Rt△BPH中， ，即，

t=；

（3）①当PC=BC=6时，此时AP=AC-PC=2，∴t==；

②当PC=BC时，作CH⊥AB，则有PH=BH，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，由已知则有BP=4t-14，由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14,

所以4t-14=7.2，解得 ；

③当PC=BP时，作CH⊥AB，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，

由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14, 所以PH=4t-14-3.6=4t-17.6，

由勾股定理可得CH2+PH2=PC2 ，即4.82+（4t-17.6）2=（4t-14）2 ，解得；

④当BC=BP时，此时BP=4t-14，所以4t-14=6，解得，

综上可知，当t为、、 或时，△BCP为等腰三角形．