Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：直线BC与⊙O相切；

连结OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵直线BC过半径OD的外端，

∴直线BC与⊙O相切

（2）解：①设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，

∴OB=2r，

在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴AB=2AC=6，

∴3r=6，解得r=2．

②在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴∠BOD=60°．

∴ ．

∵∠B=30°，OD⊥BC，

∴OB=2OD，

∴AB=3OD，

∵AB=2AC=6，

∴OD=2，BD=2

S△BOD= ×ODBD=2 ，

∴所求图形面积为 ．

【解析】（1）连接OD，首先依据平行线的性质、角平分线的定义可得到∠CAD=∠ODA，从而可证明OD∥AC，然后依据平行线的性质可证明OD⊥BC，最后，再根据切线的判定定理进行证明即可；
（2）①根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得到OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②由S阴影=S△BOD-S扇形DOE求解即可．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．