Question

【题目】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．

（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；

（2）求EF的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）EF的最大值为4，最小值为．

【解析】试题分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF（2）可先证明BEF为等边三角形。那么BE=BF=EF,点E在AD上运动，当BE AD时，BE最短，当E与A或D重合时最长。

解：（1）BE=BF，证明如下：

∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，

∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，

∵AE+CF=4，

∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，

又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，

在△BDE和△BCF中，

DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,

∴△BDE≌△BCF（SAS），

∴BE=BF；

（2）∵△BDE≌△BCF，

∴∠EBD=∠FBC，

∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，

∴∠EBF=∠DBC=60°，

又∵BE=BF，

∴△BEF是正三角形，

∴EF=BE=BF，

当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，

当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，

∵EF=BE，

∴EF的最大值为4，最小值为．