Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．

（1）写出这个四边形的一条性质并证明你的结论．
（2）若BD=BC，证明： ．
（3）①若AB=BC=4，AD+DC=6，求 的值．
②若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结论：AB2+BC2=AD2+DC2．

理由：∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴AB2+BC2=AC2，BC2+DC2=AC2，

∴AB2+BC2=AD2+DC2

（2）

解：如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴四边形ABCD四点共圆，

∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，

∵∠BED=∠ABC=90°，

∴△BED∽△ABC，

∴ = =sin∠EAB=sin∠BCD

（3）

解：①如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，

∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，

∴△DAB≌△CBF，

∴BD=BF，AD=CF，

∵∠DBF=90°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD= DF，

∵AD+CD=6，

∴CF+CD=DF=6，

∴BD=3 ，AC= =4 ，

∴ = = ．

②当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为NM延长BA交MN于点N，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴ ，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，

在Rt△BDM中，BD= =10x，

∵BD=DC，

∴10x=6x+8y，

∴x=2y，

在Rt△DABM中，AB= =6 y，

∴sin∠BCD=sin∠MAB= = =

【解析】（1）结论：AB2+BC2=AD2+DC2 ， 根据勾股定理即可证明．（2）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，只要证明△BED∽△ABC，即可解决问题．（3）①如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．只要证明△DAB≌△CBF，推出DF=AD+CD=6，求出BD、AC即可．
②当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为NM延长BA交MN于点N，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，所以 ，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，通过BD=DC，列出方程求出x、y的关系，求出AB，即可解决问题．