Question

【题目】如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB＝∠ADB.

(1)求证：EA是⊙O的切线；

(2)已知点B是EF的中点，AF＝4，CF＝2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）4

【解析】试题分析：（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线，

（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．

试题解析：(1)证明：如图，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ADB+∠EDC ＝90°

∵∠BAC＝∠EDC， ∠EAB ＝∠ADB，

∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°,

∴EA是⊙O的切线；

（2）如图，连接BC

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°.

∴∠CBA＝∠ABC ＝90°.

∵B是EF的中点，

∴在Rt△EAF中，AB＝BF.

∴∠BAC＝∠AFE

∴△EAF∽△CBA.

∴，

∵AF＝4，CF＝2，

∴AC＝6，EF＝2AB.

∴，解得AB＝，

∴EF＝.

∴AE＝ .