Question

【题目】已知：如图：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=，DE=3cm。动点D、E始终在边AB上，当点D从A点沿AC方向移动。

（1）在Rt△DEF沿AC方向移动的过程中，F，C两点之间的距离逐渐_______。（填“不变“变大”或“变小”）

（2）当F、C连线与AB平行时，求AD的长。

（3）以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形时，求AD的长

Answer 1

【答案】（1）变小；（2）;（3）AD=6.7cm或4.2cm.

【解析】

（1）根据题意可知：DF=3cm，DC逐渐变小，再根据勾股定理即可判断；

（2）根据30°所对的直角边是斜边的一半和平行线的性质，可得：AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°，再根据锐角三角函数求出CD，从而求出AD；

（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD= AC－AD=10－x，再根据勾股定理可得：FC=，然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论，最后利用勾股定理分别求出每种情况中x的值即可.

解：（1）根据题意可知：DF=DE=3cm，DC逐渐变小，

根据勾股定理可得：FC=

∴F，C两点之间的距离逐渐变小，

故答案为：变小；

（2）如下图所示，FC∥AB

∵∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，

∴AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°

在Rt△CFD中，CD=cm

∴AD=AC－CD=；

（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD= AC－AD=10－x

根据勾股定理可得：FC=

①若AD为斜边时，

∴AD2=FC2+BC2

∴

解得：；

②若FC为斜边时，

∴FC2= AD2 +BC2

∴

解得：；

③若BC为斜边时，

∴BC2= AD2 + FC2

∴

整理得：

∵

∴此方程无解.

综上所述：AD=6.7cm或4.2cm.