Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）当t为何值时，四边形ACQP的面积最小，最小值是多少？

（3）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）当t＝1或t＝时；（2）当t=1时，面积最小为18；（3）．

【解析】【试题分析】（1）分类讨论： ，①当△BPQ△BAC时，

则＝，又因为BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

所以＝，解得：t＝1；

②当△BPQ△BCA时，则＝，即＝，解得：t＝．

综合上述：当t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于点D．根据四边形ACQP的面积等于总面积减去 的面积，设四边形ACQP的面积为y，由题意得：

∵6＞0，∴当t=1时，面积最小为18．

（3）过点P作PM⊥BC于点M，设AQ与CP相交于点N，则有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．

【试题解析】

（1）①△BPQ与△ABC相似时，

则＝，

∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴＝，解得：t＝1；

②△BPQ与△BCA相似时，

则＝，即＝，

解得：t＝．

综合上述：当t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．

（2）做PD⊥BC于点D．

设四边形ACQP的面积为y，由题意得：

∵6＞0，∴当t=1时，面积最小为18．

（3）过点P作PM⊥BC于点M，设AQ与CP相交于点N，则有PB＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，

∴△ACQ∽CMP，

∴＝，即＝，

解得：t＝．