Question

【题目】已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=8，DC=4，点M、N分别为边AB、DC的中点，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，到达点A后立即原路返回，点P到达点C后点Q同时停止运动，设点P、Q运动的时问为t秒，当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为________。

Answer 1

【答案】1或1.5或3.5

【解析】

利用线段中点的定义求出DN，BM的长，再根据两点的运动速度及运动方向，分情况讨论：当0＜t≤2时，PN=2-t，MQ=4-3t或MQ=3t-4；当2＜t≤4时PN=t-2，MQ=12-3t，然后根据平行四边形的判定定理，由题意可知当PN=MQ，以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分别建立关于t的方程，分别求解即可

解：∵点M、N分别为边AB、DC的中点，

∴DN=DC= ×4=2，

BM=AB=×8=4；

∵点P从点D出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，点P到达点C后点Q同时停止运动，

∴DP=t，BQ=3t，

当0＜t≤2时，PN=2-t，MQ=4-3t或MQ=3t-4

当2＜t≤4时PN=t-2，MQ=12-3t

∵ AB∥CD

∴PN∥MQ；

∴当PN=MQ，以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

∴2-t=4-3t，或2-t=3t-4，或t-2=12-3t,

解之：t=1或t=1.5或t=3.5.

故答案为：t=1或1.5或3.5.