Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧中点.
（1）求证：OP∥BC.
（2）连接PC交直径AB于点D，当OC=DC时，求∠A的度数.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，延长PO交AC于H，如图1，

∵P是优弧的中点，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC.
（2）解：连接AC，延长PO交AC于H，如图2，

∵P是优弧的中点，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=PCO，
当CO=CD时，设∠DCO=x，
则∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠PDO=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x.
在△POC中，x+x+5x=180°，
∴x=，
即∠PAO=，
∴∠A的度数为
【解析】（1）连接AC，延长PO交AC于H，由垂径定理推论得PH⊥AC，再由圆周角定理得BC⊥AC，根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可得证.
（2）连接AC，延长PO交AC于H，如图2，由垂径定理推论得PA=PC， 根据等腰三角形的性质得∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，等量代换得
∠PAO=PCO；当CO=CD时，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，由三角形的外角和性质得 ∠ODC=3x，在△POC中，再根据三角形的内角和定理得出
x+x+5x=180°，从而求出∠A的度数 .
【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识点，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．