Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求 的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图1，

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD=∠ODB①，

在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB②，

由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圆O的切线

（2）解：如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，

∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且点A是EH中点，

设AE=x，EC=4x，则AC=3x，

连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵AB=AC，

∴D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，OD= AC= ×3x= ，

∵OD∥AC，

∴∠E=∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴ ，

∴ = = ，

∴ =

（3）解：如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，

∵EF=EA，

∴∠EFA=∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD=∠EAF，

则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，

∴DF=OD=r，

∴DE=DF+EF=r+1，

∴BD=CD=DE=r+1，

在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，

∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，

∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF=BD=r+1，

∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，

在△BFD和△EFA中，

∵ ，

∴△BFD∽△EFA，

∴ ，

∴ = ，

解得：r1= ，r2= （舍），

综上所述，⊙O的半径为

【解析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD= AC= ，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为： ，则 = ，求出r的值即可．