Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD外取点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，已知AE=AP=BE=1.

(1)求证：△APD≌△AEB；

(2)连接PC，求线段PC的长度；

(3)试求正方形ABCD的面积。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）2+

【解析】

（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由AE⊥AP，得到∠EAP=90°，于是得到∠EAB=∠DAP，即可得到结论；

（2）连接PB，PC，由（1）证得△APD≌△AEB，于是得到PD=AE，∠ADO=∠ABE，推出△ABP≌△DCP，得到PB=PC，根据勾股定理即可得到结论；

（3）过A作AM⊥PE于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=PM= ，求出DM=1+ ，由勾股定理得到AD= ，于是得到结果．

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°，

∵AE⊥AP，

∴∠EAP=90°，

∴∠EAB=∠DAP，

在△APD与△AEB中，

，

∴△APD≌△AEB；

(2)连接PB,PC,由(1)证得△APD≌△AEB，

∴PD=AE，∠ADO=∠ABE，

∵AE=AP，

∴PD=AP，

∴∠PAD=∠PDA，

∴∠BAP=∠CDP，

在△ABP与△DCP中，

，

∴△ABP≌△DCP，

∴PB=PC，

∵∠BOE=∠AOP，

∴∠BEO=∠BAD=90°，

∵PE= AP=，

∴PB=，

∴PC=PB=；

(3)过A作AM⊥PE于M，

∴AM=PM= PE=，

∴DM=1+，

∴AD=，

∴正方形ABCD的面积=AD =2+.