Question

【题目】如图,矩形OABC的顶点A. C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).

(1)求反比例函数的表达式和m的值；

(2)将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式。

Answer 1

【答案】（1）y=，m=1（2）y= x+

【解析】

（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；

（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3, )，

∴k=3×=2，

∴反比例函数的表达式为y=.

又∵点D(m,2)在反比例函数y=的图象上，

∴2m=2，解得：m=1.

(2)设OG=x，则CG=OCOG=2x，

∵点D(1,2)，

∴CD=1.

在Rt△CDG中,∠DCG=90°，CG=2x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD+CG=DG,即1+(2x)=x，

解得：x= ，

∴点G(0, ).

过点F作FH⊥CB于点H，如图所示。

由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF.

∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴，

∴DF=2GD=，

∴点F的坐标为(,0).

设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+，

∴有 ,解得： .

∴折痕FG所在直线的函数关系式为y= x+.