Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）M（﹣1，2）或（﹣1，6）

【解析】（1）设此抛物线的解析式为： ，

由题意得：

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥x轴，∴△QOC∽△COA，∴，即，

∴OQ=9，，又∵点Q在x轴的负半轴上，∴Q（﹣9，0），

设直线DC的解析式为：y=mx+n，则，

解之得： ，

∴直线DC的解析式为： ，

∵点D是抛物线与直线DC的交点，

∴，

解之得： ， （不合题意，应舍去），

∴点D（，

用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA，

设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E，

∴AE=2，

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1，

∴P（﹣1，4），

∴PE=4，

则PM=|4﹣y|，

∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，

===5，

又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，

S△AEP，

∴+S△ACP=5﹣4=1，

∵S△MAP=2S△ACP，

∴，

∴|4﹣y|=2，

∴y1=2，y2=6，

故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，

点M（﹣1，2）或（﹣1，6）．