Question

【题目】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，经过点，连接交于点，观察发现：点是的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路１：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接交于点．、

……

请参考上面的思路，证明点是的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的条件下，当时，延长、交于点，求的值；

（3）在（2）的条件下，若（为大于的常数），直接用含的代数式表示的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；

证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到=1，所以DM=EM；

（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；

（3）由于，则，然后表示出，再把代入计算即可．

试题解析：（1）如图1，

证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，

∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中

，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；

证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，

∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，

∵HM∥BE，∴=1，∴DM=EM，

即点M是DE的中点；

（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，

设AD=a，CM=b，

∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，

∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，

∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，

∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，

∴△ANF为等腰直角三角形，

∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，

∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴；

（3）∵，∴，

∴